张量和黎曼几何——微分方程应用
Tensors and
Riemannian Geometry : with Applications to
Differential Equations
作者： Nail H.Ibragimov
出版： 高等教育出版社; 第1版
索书号： Q183.2/I-14/2015/Y
藏书地点： 武大外教中心
张量理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。
黎曼几何是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
《张量和黎曼几何——微分方程应用》一书主要介绍了微分方程在张量中的应用。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。
《张量和黎曼几何——微分方程应用》是2015年由高等教育出版社出版，作者Nail H.Ibragimov，Nail H. Ibragimov教授为瑞典科学家，被公认为是在微分方程对称分析方面世界上最具权威的专家之一。他发起并构建了现代群分析理论和应用方面很多新的发展。本书是作者在俄罗斯、法国、南非和瑞典多年讲授黎曼几何与张量课程讲义的基础上整理而成。本书通俗易懂、叙述清晰。通过阅读本书，读者将轻松掌握应用张量、黎曼几何的理论以及几何化的方法求解偏微分方程，尤其是利用近似重整化群理论将大大简化de Sitter 空间中广义相对论方程的求解。
《张量和黎曼几何——微分方程应用》一书主要内容分成三大部分，第一部分讲述张量和黎曼空间，具体内容是张量和黎曼空间，守恒定律，张量和黎曼几何简介，黎曼空间中的运动。第二部分讲述黎曼空间，具体内容包括黎曼空间与线性PDEs相关，线性双曲方程的几何，初值问题的解。第三部分是相对论，具体内容是简要介绍相对论，在德西特空间的相对论。
《张量和黎曼几何——微分方程应用》一书是数学专业书籍，内容丰富，讲解详细，逻辑清晰，除此之外还有以下三个特点：
1.总结了利用局部黎曼几何和李群分析求解偏微分方程的众多有效的方法。
2.发展了经典方法和新方法中的分析技巧。
3.提供了清晰易懂的表达方式、适合广泛的读者。
目录
前言
第一部分：张量和黎曼空间
1张量和黎曼空间
1.1向量在线性空间
1.2求和约定
2守恒定律
2.1经典力学中的守恒定律
2.2关于守恒定律的一般性讨论
2.3由对称定义的保守向量
3张量和黎曼几何简介
3.1张量
3.2黎曼几何
3.3微分方程应用
4黎曼空间中的运动
4.1简介
4.2等距运动
4.3保守运动
4.4广义运动
第二部分：黎曼空间的二级方程
5黎曼空间与线性PDEs相关
5.1二阶方程的协变形式
5.2形不变方程
6线性双曲方程的几何
6.1概论
6.2与非平凡的共形组的空间
6.3二阶方程的标准形式
7初值问题的解
7.1初值问题
7.2与非平凡的共形组的空间测地线
7.3惠更斯原理
第三部分：相对论
8简要介绍相对论
8.1狭义相对论
8.2麦克斯韦方程组
8.3狄拉克方程
8.4广义相对论
9在德西特空间的相对论
9.1德西特空间
9.2德西特集团
9.3近似德西特集团
9.4粒子在德西特空间中的运动
9.5曲线波算子
9.6在德西特空间的中微子
索引